И начнём с самого простого случая — квадратных матриц. В результате умножений из данной матрицы выделены 2-й столбец, первая строка, элемент . В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка. Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов.
Умножение матриц – это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц. В произведения матрицу называют левым множителем для и говорят об умножении матрицы на матрицу слева. Аналогично матрицу называют правым множителем для и говорят об умножении матрицы на матрицу справа. После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Данная операция, вместе с операцией
сложения матриц, относится к
линейным операциям над матрицами. Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно. Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.
Свойства умножения матриц
В общем случае умножение матриц не является коммутативным. Произведение зависит от перестановки множителей, т.е . Во-вторых, если оба произведения и определены, результаты могут оказаться матрицами разных размеров (см. пример 1.6 и 1.9, а). Если матрицы и квадратные одного порядка, то произведения и будут также квадратными матрицами того же порядка. Даже при этих условиях умножение матриц не коммутативно (см. пример 1.8 и 1.9,6, где ). С другой стороны, в примере 1.8 и , а в примере 1.9, в , т.е.
Кольцо не является коммутативным, так как операция умножения квадратных матриц порядка не коммутативна. Единичным элементом кольца служит единичная матрица. Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц. Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Вектор-строка — это матрица размера $\left[ 1\times n \right]$, т.е. Состоящая из одной строки и нескольких столбцов. Вектор-столбец — это матрица размера $\left[ m\times 1 \right]$, т.е. Состоящая из нескольких строк и только одного столбца. Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left[ n\times n \right]$ согласованы всегда.
Пример 2
Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ. Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ). Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.
Существуют квадратные матрицы, произведение которых не зависит от перестановки множителей. Таким образом, произведение любой матрицы-строки и любой матрицы-столбца, имеющих одинаковое количество элементов, есть число, равное сумме произведений их элементов с одинако-выми индексами. Если матрица-строка и матрица-столбец имеют разное количество элементов, то их перемножить нельзя. Множество квадратных матриц одного и того же порядка с операциями сложения матриц и умножения матриц на число представляет собой некоммутативное кольцо с единицей.
Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах. Тут все понятно – для того, чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы последовательно умножить на указанное число. Рассмотрим два типа преобразований квадратной матрицы -го порядка при помощи умножения на строки и столбцы единичной матрицы. Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число.
Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы . В данном примере можно и нужно умножить все элементы матрицы на ½, т.к. Каждый элемент матрицы делится на 2 без остатка. Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2. Матрицы и называются перестановочными, если .
- Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
- Следовательно, операции сложения и умножения матриц определены на множествах диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц одного и того же порядка.
- Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.
- Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.
- Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.
Именно так и следует делать при решении настоящих задач. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше. Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц.
Определитель матрицы, онлайн калькулятор
Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно. Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов. Из определения следует, что общий множитель всех
элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно. Оба произведения и определены, но являются матрицами разных размеров, т.е.
Оба произведения — это квадратные матрицы одного и того же порядка, но . В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры. Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.
Операция умножения матриц – это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. Только определение может сильно запутать.
Операция умножения матриц.
Операция умножения матриц имеет следующие свойства. Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц, и возможно как умножение MN, так и умножение NM. Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно. Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.
Следовательно, операции сложения и умножения матриц определены на множествах диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц одного и того же порядка. Поэтому каждое из указанных множеств является кольцом с единицей, причем кольцо диагональных матриц коммутативное. Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением.
Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном). Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству
строк второй матрицы. Вот почему матрицы типа 1×1 отождествляют с числами. Умножение матрицы на число – это тоже самое умножение матриц, только вместо второй матрицы берется простое число. Как можно догадаться, такое умножение выполнять гораздо проще.
Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения. Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей. Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит. Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.
Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени. Рекомендую после прочтения задания не смотреть в решение, а сначала попробовать выполнить его самостоятельно. В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. В частности, например, можно показать, что диагональные матрицы одного и того же порядка перестановочны. Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.
Существование произведения AB двух матриц не означает существования их произведения BA. Например, матрицы из примера 10.4 нельзя умножить в другом порядке. В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left[ 3\times 3 \right]$. Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.
В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт. Очень важно помнить, что здесь не работает «правило перестановки мест слагаемых» так как почти всегда MN ≠ NM. Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.