Как рассчитать сложность алгоритма: Оценка сложности алгоритмов, или Что такое Оlog n

Например, сначала мы выполняем выражение со сложностью O(f(n)), а следом за ним – O(g(n)). Тогда выполнение обоих выражений (одно за другим) будет иметь сложность O(f(n)) + O(g(n)), то есть O(f(n) + g(n)). На практике далеко не всегда можно также легко и однозначно определить зависимость времени выполнения алгоритма от входных данных. Более того, не совсем удобно учитывать каждое малозначимое ответвление. Поэтому для удобной оценки алгоритмов делается несколько допущений, которые значительно упрощают эту задачу. Как и у линейного поиска, лучший случай равен O(1), ведь искомое число может находиться в середине массива, и тогда мы найдём его с первой попытки.

Но и те, к сожалению, жрут слишком много памяти. Проблема в том, что у таких алгоритмов огромные константы. В пейперах гонятся за более компактной экспонентой, а степени отбрасываются. Даже авторы оригинальных пейперов называют их просто «очень большими». «Правильнее» в данном контексте означает — с точки зрения математических пейперов по алгоритмам.

Классы сложности операций в Python

В итоге общий класс сложности определяет самая медленная операция. Таким образом, третья реализация оказалась самой эффективной из всех с линейным временем выполнения. При увеличении размера списка в два раза, время выполнения функции is_unique3 увеличится всего в два раза. Возьмем три разные функции, которые решают одну и ту же задачу – определяют, состоит ли список из уникальных значений (не имеет дубликатов). Необходимо умножить класс сложности количества повторений на класс сложности самого выражения. Если len(alist) – это N, тогда for i in range(len(alist)) будет иметь сложность O(N), так как цикл выполняется N раз.

Сложность этой реализации меньше, чем is_unique1. Для больших значений N is_unique2 будет выполняться значительно быстрее. Сначала мы копируем список, чтобы не изменять исходную структуру сортировкой – функции обычно не должны влиять на входящие параметры. Разобравшись со сложностью отдельных операций мы переходим к их комбинированию. Как видно, большинство операций со словарями имеют сложность O(1). Рассмотрим основные операции некоторых структур данных в Python.

Средний элемент можно рассчитать по формуле (n + 1) / 2, но так как мы отбрасываем константы, то получаем просто n. Хотя иногда в среднем случае константы оставляют, потому что запись O(n / 2) даёт чуть больше информации. Начнём с самого простого алгоритма — линейного поиска, он же linear search. Дальнейшее объяснение подразумевает, что вы знаете, что такое числа и как устроены массивы. Напомню, это всего лишь набор проиндексированных ячеек. Нас интересует только часть формулы, которая зависит от размера входных данных.

Класс сложности O(N log N) хуже, чем O(N), но уже значительно лучше, чем O(N2). Список уникален, если после его сортировки рядом не находятся одинаковые значения. В O-нотации мы всегда отбрасываем менее значимые элементы – по сути это аналогично работе функции max. Запись с max лучше отражает суть вычисления, но вы можете выбрать любой удобный для вас вариант. Предположим, что вычисление условия test имеет сложность O(T), блока block 1 – O(B1), а блока block 2 – O(B2).

Алгоритм 3

Возможно вы не знакомы с конструкцией […​items], которая встречается в этом коде. Без копии мы при первом же вызове функции selectionSort упорядочим массив items, и последующие вызовы будут измерять скорость сортировки уже упорядоченного массива. Чтобы правильно выбирать алгоритмы, нужно научиться сравнивать их, чем мы и займемся в этом уроке. Мы познакомимся с двумя основными способами, разберем их плюсы и минусы.

Для простоты расчётов разница в скорости между операциями обычно опускается. Время — это… время, которое нужно алгоритму для обработки данных. Например, для маленького массива — 10 секунд, а для массива побольше — 100 секунд. Интуитивно понятно, что время выполнения алгоритма зависит от размера массива.

Примером может служить рекурсивная функция расчета факториала. В то же время для небольших объемов данных классы сложности неэффективны. Чтобы найти лучший алгоритм в этом случае, необходимо учитывать константы и термины низшего порядка. Также хорошо работает эмпирический, или динамический, анализ. Самое базовое понятие статического анализа – O(1).

Проще говоря, это само число n, его степени, логарифмы, факториалы и экспоненты, где число находится в степени n. Это правило позволяет вычислять класс сложности для выполнения некоторого повторяющегося несколько раз выражения. Необходимо умножить количество повторений на класс сложности самого выражения. Первая и вторая реализации выполняют одну операцию быстро, а другую медленно.

Потребление памяти обычно называется Space Complexity или просто Space, редко — Memory. Software Engineer Валерий Жила подробно рассказал, что такое O(n), и показал, как её считать на примере бинарного поиска и других алгоритмов. Вот мы и разобрали с Вами основные положения расчета сложности алгоритмов. При этом теперь Вы будете не просто правильно определять сложность, а понимать математическую основу этого процесса.

Алгоритмы, которые используют исходный массив как рабочее пространство, называют in-place. Они потребляют мало памяти и создают одиночные переменные — без копий исходного массива и промежуточных структур данных. Алгоритмы, требующие дополнительной памяти, называют out-of-place. Прежде чем использовать алгоритм, надо понять, хватит ли на него памяти, и если нет — поискать менее прожорливые альтернативы. Когда говорят о Time Complexity или просто Time, то речь идёт именно о количестве операций.

Если время работы алгоритма также увеличится в десять раз, то речь идет о линейной сложности — на графике она бы описывалась прямой линией. Именно поэтому перед программистами встала задача — научиться оценивать скорость алгоритмов в целом. При этом for i in range(len(alist)/2) также имеет сложность O(N). В этом случае цикл выполняется N/2 раз, и мы можем отбросить константу 1/2.

Мы видим, что среднее время выполнения может заметно отличаться от времени, измеренного один раз — на 30% в нашем случае. Значит ли это, что теперь у нас в руках есть надежный способ сравнения алгоритмов? Но мы пока так и не выяснили, почему быстрая сортировка такая медленная по сравнению с сортировкой выбором. Возьмем код, который определяет, состоит ли список из уникальных значений (т.е. нет ли в нем дубликатов). Размер списка обозначим как N, а сложность операции сравнения элементов примем за O(1). Помимо этого, мы рассмотрим сложность основных операций (if, for) и на примере Python-функции посчитаем сложность небольшого алгоритма.

Основы алгоритмов и структур данных

Допустим, у нас есть массив целых чисел arr, содержащий n элементов. Вообще, количество элементов, размер строк, массивов, списков и графов в алгоритмах всегда обозначают буквой n или N. Для удобства обусловимся, что arr точно содержит x. Если массив отсортирован, мы можем проверить, есть ли в нём какое-то конкретное значение, методом деления пополам. Проверим средний элемент, если он больше искомого, то отбросим вторую половину массива — там его точно нет.

Именно так мы определяли сложность linear search и binary search. Часто binary search объясняют на примере с телефонным справочником. Возможно, многие читатели никогда не видели такую приблуду — это большая книга со списками телефонных номеров, отсортированных по фамилиям и именам жителей.

Примеры

Если же мы говорим о средней оценке, то нам достаточно просто сложить оценки сверху и снизу и разделить их пополам. Такой сложностью обладает, например, алгоритм поиска наибольшего элемента в не отсортированном массиве. Нам придётся пройтись по всем n элементам массива, чтобы понять, какой из них максимальный. И если для линейного поиска average case в два раза лучше, чем worst case, то тут они обычно отличаются всего на несколько шагов.

В конечном счете, O(f(n) + g(n)) приводит нас к большему из двух исходных классов – так как меньший член выражения просто отбрасывается. Метод Монте-Карло применяют довольно редко — только если первые два применить невозможно. Особенно часто с его помощью описывают производительность систем, состоящих из множества алгоритмов. Есть алгоритм some_function, который выполняет действие А, а после него — действие В. Также встречаются конструкции для исключений, вроде throw error («Very Bad»). Псевдокод — достаточно формальный, но не слишком требовательный к мелочам инструмент для изложения мыслей, не связанный с конкретным языком программирования.

• Для нового значения определяется правильное место – для этого перебираются элементы списка (или связного списка) – O(N).
• И если вы хотите стать хорошим программистом, но так и не понимаете, что это значит, — данная статья для вас.
• Если размер списка увеличится в два раза, то операция также будет выполняться в два раза дольше.
• Для оценки сложности алгоритмов принято использовать именно нотацию «О большое».
• Допустим, у нас есть массив целых чисел arr, содержащий n элементов.
• Когда мы говорим о ситуациях, в которых мы заранее уверены в некоторой структуре входных данных или в объемах этих данных, можно говорить об оценке снизу и средней оценке.

Разобравшись со сложностью отдельных операций мы переходим к их комбинированию, потому что без этого более-менее сложный алгоритм мы оценить не сможем. Расчет сложности алгоритмов — необходимый навык для любого программиста. Профессионал должен не только уметь вычислять сложность, но и разбираться в терминологии, чтобы аргументировать свои ответы. Используется двоичная куча, которая позволяет реализовать обе операции со «средней» сложностью O(log N), что для больших значений ближе к O(1), чем к O(N). Если размер списка увеличится вдвое, то выполнение функции займет в 4 раза больше времени.

Сортировка

Математики знают, что квадратичные функции растут быстрее линейных, а кубические — быстрее квадратичных. Сначала выполняется само условие, а затем один из блоков (if или else). При сложении двух классов сложности складываются функции этих классов. Однако, O(f(n) + g(n)) приводит нас к большему из двух исходных классов – так как меньший член выражения просто отбрасывается. Мораль этого примера заключается в том, что иногда не существует «самой лучшей реализации». В зависимости от задачи оптимальными могут быть разные варианты.

Задача оптимизации сводится к тому, чтобы найти или придумать новый алгоритм с меньшей сложностью. Логарифмические алгоритмы считаются очень быстрыми, гораздо быстрее линейных. Единственное, что нам пока не встречалось — вызов метода performance.now().

Всегда нужно просто дождаться в потоке входных данных третий элемент и это будет результатом, на вычисление которого для любого количества данных нужно одно и то же время. Наша задача заключается в том, чтобы вместо каждой строчки записать в этот массив длину этой строчки. Если наш массив будет состоять из 5 ячеек, то эта операция будет занимать 5 у.